ISSN 2304-6600 (Online)
ISSN 1997-0935 (Print)



Исследование развития моделей случайных величин в расчетах надежности строительных конструкций при неполной статистической информации

  • Соловьева Анастасия Андреевна - Вологодский государственный университет (ВоГУ)
  • Соловьев Сергей Александрович - Вологодский государственный университет (ВоГУ)
DOI: 10.22227/1997-0935.2021.5.587-607
Страницы: 587-607
Введение. Изучены подходы к моделированию случайных величин в задачах расчетов надежности элементов строительных конструкций при неполной (ограниченной) статистической информации. Задачи исследования — постановка проблемы вероятностного расчета надежности строительных конструкций при неполной статистической информации, развитие подходов к созданию моделей случайных величин в рамках этой проблемы, а также оценка текущего состояния вопроса и некоторых перспектив развития на ближайшие годы. Материалы и методы. Основная модель случайной величины — р-блок (probability box), представляющий собой область возможных функций распределений вероятностей случайной величины, сформированную двумя граничными функциями распределения вероятностей. Рассмотрены р-блоки, построенные на основе теории нечетких множеств, теории вероятностей, границ Колмогорова – Смирнова и др. Результаты. Использование рассмотренных подходов проиллюстрировано на числовых примерах построения р-блоков по одним и тем же статистическим данным. Р-блок на основе теории вероятностей позволяет достаточно точно смоделировать случайную величину, однако требуется наличие априорной информации о виде функции распределения. Р-блок на основе теории возможностей можно применять даже при наличии крайне малого числа статистических данных, но также необходимо аккуратно подходить к вопросу назначения уровня среза (риска). Р-блоки на основе неравенства П.Л. Чебышева и статистики Колмогорова – Смирнова дают возможность эффективно моделировать случайные величины вне зависимости от вида вероятностного распределения. Однако в ряде задач такие подходы могут дать слишком неинформативную оценку для принятия решений. Выводы. Выбор вероятностной модели случайной величины для дальнейшего расчета надежности элементов строительных конструкций будет зависеть от количества и типа полученной статистической информации о случайной величине. Для отдельных случаев, например статистической информации в виде подмножества интервалов, могут быть использованы специальные подходы, основанные на теории свидетельств Демпстера – Шефера. Перспективным и актуальным направлением развития вероятностных моделей случайных величин и методов анализа надежности строительных конструкций при неполной статистической информации представляются численные методы моделирования с использованием суррогатных моделей (кригинг, байесовские сети, интервальные предикторы и др.) и нейросетевых алгоритмов.
  • надежность;
  • вероятность отказа;
  • случайная величина;
  • теория нечетких множеств;
  • теория случайных множеств;
  • р-блоки;
  • безопасность;
  • неточные вероятности;
Литература
  1. Schwarz W. No interpretation of probability // Erkenntnis. 2018. Vol. 83. Issue 6. Pp. 1195–1212. DOI: 10.1007/s10670-017-9936
  2. Кургузов К.В., Фоменко И.К., Шубина Д.Д. Вероятностно-статистическое моделирование нагрузок и воздействий // Вестник МГСУ. 2020. Т. 15. № 9. С. 1249–1261. DOI: 10.22227/1997-0935.2020.9.1249-1261
  3. Schobi R., Sudret B. Structural reliability analysis for p-boxes using multi-level meta-models // Probabilistic Engineering Mechanics. 2017. Vol. 48. Pp. 27–38. DOI: 10.1016/j.probengmech.2017.04.001
  4. Дудина И. В., Жержева С.А. Применение прикладных методов теории надежности в строительном проектировании // Труды Братского государственного университета. Серия: Естественные и инженерные науки. 2016. Т. 1. С. 117–121.
  5. Тамразян А.Г. Бетон и железобетон: проблемы и перспективы // Промышленное и гражданское строительство. 2015. № 8. С. 30–33.
  6. Yang M., Zhang D., Han X. New efficient and robust method for structural reliability analysis and its application in reliability-based design optimi­zation // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2020. Vol. 366. P. 113018. DOI: 10.1016/j.cma.2020.113018
  7. Xin T., Zhao J., Cui C., Duan Y. A non-probabilistic time-variant method for structural reliability analysis // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part O: Journal of Risk and Reliability. 2020. Vol. 234 (5). Pp. 664–675. DOI: 10.1177/1748006X20928196
  8. Liu J., Meng X., Xu C., Zhang D., Jiang C. Forward and inverse structural uncertainty propagations under stochastic variables with arbitrary probability distributions // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2018. Vol. 342. Pp. 287–320. DOI: 10.1016/j.cma.2018.07.035
  9. Der Kiureghian A., Ditlevsen O. Aleatory or epistemic? Does it matter? // Structural safety. 2009. Vol. 31. Issue 2. Pp. 105–112. DOI: 10.1016/j.strusafe.2008.06.020
  10. Lindley D. The philosophy of statistics // Journal of the Royal Statistical Society. Series D (The Statistician). 2000. Vol. 49. Pp. 293–337. DOI: 10.1111/1467-9884.00238
  11. Faber M.H. On the treatment of uncertainties and probabilities in engineering decision analysis // Journal of Offshore Mechanics and Arctic Engineering. 2005. Vol. 127 (3). Pp. 243–248. DOI: 10.1115/1.1951776.
  12. Montgomery V. New statistical metliods in risk assessment by probability bounds. Diss. Durham University, 2009. 152 p.
  13. Ditlevsen O., Madsen H.O. Proposal for a code for the direct use of reliability methods in structural design. JCSS Working Document, 1989. 28 p.
  14. Zhang L., Zhang J., You L., Zhou S. Reliability analysis of structures based on a probability‐uncertainty hybrid model // Quality and Reliability Engineering International. 2019. Vol. 35 (1). Pp. 263–279. DOI: 10.1002/qre.2396
  15. Jiang C., Zheng J., Ni B.Y., Han X. A probabilistic and interval hybrid reliability analysis method for structures with correlated uncertain parameters // International Journal of Computational Methods. 2015. Vol. 12 (4). P. 1540006. DOI: 10.1142/S021987621540006X
  16. Matheron G. Estimating and choosing. Ber­lin : Springer Verlag, 1989. 141 p. DOI: 10.1007/978-3-642-48817-7
  17. Popper K.R. The logic of scientific discovery. London : Hutchinson, 1959. 480 p.
  18. Ditlevsen O., Madsen H.O. Structural reliability methods. NY : J. Wiley & Sons, 1996. 372 p.
  19. Ярыгина О.В. Методы расчета надежности железобетонных конструкций в составе зданий и сооружений при ограниченной статистической информации : дис. … канд. техн. наук. Вологда, 2013. 157 с.
  20. Уткин В.С., Редькин А.Н. Расчет надежности стальной балки с гибкой стенкой по критерию прочности стенки при ограниченной статистической информации с использованием распределений, полученных на основе неравенства Чебышева // Строительство и реконструкция. 2011. № 5 (37). С. 56–62.
  21. Ferson S., Kreinovich V., Grinzburg L., Myers D., Sentz K. Constructing probability boxes and Dempster-Shafer structures (Issue SAND-2015-4166J). Sandia National Lab. (SNL-NM), Albuquerque, NM (United States). 2015.
  22. Walley P., Fine T.L. Towards a frequentist theory of upper and lower probability // Annals of Statistics. 1982. Issue 10. Pp. 741–761.
  23. Williamson R.C., Downs T. Probabilistic arithmetic I: numerical methods for calculating convolutions and dependency bounds // International Journal of Approximate Reasoning. 1990. Issue 4. Pp. 89–158. DOI: 10.1016/0888-613X(90)90022-T
  24. Boole G. An investigation of the laws of thought, on which are founded the mathematical theories of logic and probability. London : Walton and Maberly, 1854. 425 p.
  25. Соловьева А.А., Соловьев С.А. Метод оценки надежности элементов плоских ферм на основе р-блоков // Вестник МГСУ. 2021. Т. 16. № 2. С. 153–167. DOI: 10.22227/1997-0935.2021.2.153-167
  26. Karanki D.R., Kushwaha H.S., Verma A.K., Ajit S. Uncertainty analysis based on probability bounds (p‐box) approach in probabilistic safety assessment // Risk Analysis: An International Journal. 2009. Vol. 29 (5). Pp. 662–675. DOI: 10.1111/j.1539-6924.2009.01221.x
  27. Xiao N.C., Huang H.Z., Wang Z., Pang Y., He L. Reliability sensitivity analysis for structural systems in interval probability form // Structural and Multidisciplinary Optimization. 2011. Vol. 44. Issue 5. Pp. 691–705. DOI 10.1007/s00158-011-0652-9
  28. Hall J.W. Uncertainty-based sensitivity indices for imprecise probability distributions // Reliability Engineering & System Safety. 2006. Vol. 91 (10–11). Pp. 1443–1451. DOI: 10.1016/j.ress.2005.11.042
  29. Zhang H., Mullen R.L., Muhanna R.L. Structural analysis with probability-boxes // International Journal of Reliability and Safety. 2012. Vol. 6. Issue 1–3. Pp. 110–129. DOI: 10.1504/IJRS.2012.044292
  30. Zadeh L.A. Fuzzy sets // Information and control. 1965. Vol. 8. Pp. 338–353.
  31. Уткин Л.В. Анализ риска и принятие решений при неполной информации. СПб. : Наука, 2007. 404 с.
  32. Zadeh L.A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility // Fuzzy sets and systems. 1978. Vol. 1. Pp. 3–28.
  33. Dubois D., Prade H. Possibility theory and its applications: Where do we stand? // Springer handbook of computational intelligence. Springer, Berlin, Heidelberg, 2015. Pp. 31–60. DOI: 10.1007/978-3-662-43505-2_3
  34. Адищев В.В., Шмаков Д.С. Метод построения функции принадлежности с «прямой» обработкой исходных данных // Тр. Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета (Сибстрин). 2013. Т. 16. № 2 (56). С. 45–66.
  35. Кашеварова Г.Г., Фурсов М.Н., Тонков Ю.Л. О построении функций принадлежности нечеткого множества в контексте задачи диагностики повреждений железобетонных плит // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2014. Т. 10. № 2. С. 93–101.
  36. Shiraishi N., Furuta H. Reliability analysis based on fuzzy probability // Journal of Engineering Mechanics. 1983. Vol. 109. Issue 6. Pp. 1445–1459. DOI: 10.1061/(ASCE)0733-9399(1983)109:6(1445)
  37. Wang G., Wang W. Fuzzy reliability analysis of aseismic structures // Acta mechanica sinica. 1986. Vol. 2. Issue 4. Pp. 322–332.
  38. Xiang Z. Fuzzy possibility analysis for reliability of crack resistance in steel fiber reinforced concrete members // Industrial Construction. 1991. Vol. 4. Issue 10. Pp. 3–6.
  39. Tie-Yu T. Fuzzy possibility analysis for the reliability of the crack resistance in reinforced concrete members // Journal of Wuhan University of Technology. 1986. Vol. 8. Issue 3. Pp. 331–337.
  40. Ji-Min C.X.Y. Reliability analysis of non-uniform settlement of foundation // Chinese Journal of Geotechnical Engineering S. 1992. Vol. 1.
  41. Derong X.S.Z. Loading capability fuzzy reliability analysis of the bridge // Journal of Chongqing Jiaotong University. 1991. Vol. 3.
  42. Уткин В.С., Уткин Л.С. Определение надежности строительных конструкций: учебное пособие. Вологда : Вологодский государственный технический университет, 2000. 166 с.
  43. Уткин В.С., Соловьев С.А. Расчет надежности железобетонной балки на стадии эксплуатации по критерию длины трещины в бетоне // Вестник МГСУ. 2016. № 1. С. 68–79. DOI: 10.22227/1997-0935.2016.1.68-79
  44. Уткин В.С., Шепелина Е.А. Расчет надежности оснований фундаментов по критерию прочности при ограниченной информации о нагрузке // Инженерно-строительный журнал. 2013. № 1 (36). С. 48–56. DOI: 10.5862/MCE.36.6
  45. Уткин В.С., Каберова А.А., Соловьев С.А. Расчет надежности основания фундамента, сложенного просадочными грунтами, по критерию деформации // Геотехника. 2016. № 3. С. 18–25.
  46. Уткин В.С., Каберова А.А., Соловьев С.А. Расчет надежности грунтовых оснований зданий и сооружений по несущей способности при реконструкции // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. 2016. № 3. С. 51–58.
  47. Bing L., Meilin Z., Kai X. A practical engineering method for fuzzy reliability analysis of mechanical structures // Reliability Engineering & System Safety. 2000. Vol. 67. Issue 3. Pp. 311–315. DOI: 10.1016/S0951-8320(99)00073-3
  48. Jiang Q., Chen C.H. A numerical algorithm of fuzzy reliability // Reliability Engineering & System Safety. 2003. Vol. 80. Issue 3. Pp. 299–307. DOI: 10.1016/S0951-8320(03)00055-3
  49. Hongzhong H. Fuzzy reliability analysis of generalized static strength of mechanical structure based on fuzzy failure criterion // Journal of Mechanical Strength. 2000. Vol. 1.
  50. Shu-Xiang G., Zhen-Zhou L. Procedure for computing the possibility and fuzzy probability of failure of structures // Applied Mathematics and Mechanics. 2003. Vol. 24. Issue 3. Pp. 338–343. DOI: 10.1007/BF02438271
  51. Байбурин А.Х. Оценка качества строительства при недостатке информации // Архитектура, градостроительство и дизайн. 2018. № 3 (17). С. 17–22.
  52. Соколов В.А. Диагностика технического состояния конструкций зданий и сооружений с использованием методов теории нечетких множеств // Инженерно-строительный журнал. 2010. № 5 (15). С. 31–37.
  53. Яловая Ю.С. Оценивание технического состояния конструкции по результатам натурных наблюдений с использованием теории размытых множеств // Вестник Брестского государственного технического университета. Серия Строительство и архитектура. 2013. № 1 (79). С. 45–48.
  54. Лапидус А.А., Макаров А.Н. Теория нечетких множеств на этапах моделирования организации строительных процессов возведения многоэтажных зданий // Промышленное и гражданское строительство. 2016. № 6. С. 66–71.
  55. Теличенко В.И. Принятие строительных решений с использованием элементов теории нечетких множеств // Теоретические основы строительства: сб. докл. российско-польского семинара, Москва, Варшава, 10–30 января 1996 г. М. ; Варшава : Изд-во АСВ, 1996. С. 319–324.
  56. Юделевич А.М. Системный подход к оценке надежности бетонных плотин // Известия Всероссийского научно-исследовательского института гидротехники им. Б.Е. Веденеева. 2017. Т. 284. С. 82–88.
  57. Кауфман Б.Д. Учет влияния неопределенных факторов при определении гидродинамического давления на плотину // Инженерно-строительный журнал. 2012. № 9 (35). С. 59–69.
  58. Кауфман Б.Д., Иванова Т.В., Шульман С.Г. Развитие методов оценки надежности гидротехнических сооружений // Известия Всероссийского научно-исследовательского института гидротехники им. Б.Е. Веденеева. 2015. Т. 278. С. 15–22.
  59. Oberguggenberger M., Fellin W. Reliability bounds through random sets: Non-parametric methods and geotechnical applications // Computers & Structures. 2008. Vol. 86 (10). Pp. 1093–1101. DOI: 10.1016/j.compstruc.2007.05.040
  60. Troffaes M., Basu T. A Cantelli-type inequality for constructing nonparametric p-boxes based on exchangeability // Proceedings of Machine Learning Research. 2019. Vol. 103. Pp. 386–393.
  61. Уткин Л.В., Уткин В.С., Редькин А.Н. Расчет надежности стальных рам по критерию устойчивости при многопараметрической нагрузке с использованием неравенства Чебышева // Надежность. 2011. № 3 (38). С. 42–52.
  62. Zhang H., Dai H., Beer M., Wang W. Structural reliability analysis on the basis of small samples: an interval quasi-Monte Carlo method // Mechanical Systems and Signal Processing. 2013. Vol. 37 (1–2). Pp. 137–151. DOI: 10.1016/j.ymssp.2012.03.001
  63. Kovalev M.S., Utkin L.V. A robust algorithm for explaining unreliable machine learning survival models using the Kolmogorov–Smirnov bounds // Neural Networks. 2020. Vol. 132. Pp. 1–18. DOI: 10.1016/j.neunet.2020.08.007
  64. Johnson N.L., Leone F. Statistics and experimental design in engineering and the physical sciences: Vol. 1. New York : Wiley, 1964. 523 p.
  65. Utkin L.V., Coolen F.P.A. On reliability growth models using Kolmogorov-Smirnov bounds // International Journal of Performability Engineering. 2011. Vol. 7. Issue 1. Pp. 5–19. DOI: 10.1.1.1041.8408
  66. Dempster A.P. Upper and lower probabilities induced by a multivalued mapping // The Annals of Mathematical Statistics. 1967. Vol. 38. Issue 2. Pp. 325–339
  67. Shafer G. Dempster-Shafer theory // Encyclopedia of artificial intelligence. 1992. Vol. 1. Pp. 330–331.
  68. Соловьев С.А. Методы расчетов надежности изгибаемых железобетонных элементов при ограниченной статистической информации : дис. … канд. техн. наук. СПБ., 2019. 181 с.
  69. Bernard J.M. Analysis of local or asymmetric dependencies in contingency tables using the imprecise Dirichlet model // International Symposium on Imprecise Probabilities and Their Applications. 2003. Pp. 46–62.
  70. Zhang Z., Jiang C., Ruan X.X., Guan F.J. A novel evidence theory model dealing with correlated variables and the corresponding structural reliability analysis method // Structural and Multidisciplinary Optimization. 2018. Vol. 57 (4). Pp. 1749–1764. DOI: 10.1007/s00158-017-1843-9
  71. Zhang Z., Jiang C., Han X., Hu D., Yu S. A response surface approach for structural reliability analysis using evidence theory // Advances in Engineering Software. 2014. Vol. 69. Pp. 37–45. DOI: 10.1016/j.advengsoft.2013.12.005
  72. Zhang Z., Jiang C. Evidence-theory-based structural reliability analysis with epistemic uncertainty: a review // Structural and Multidisciplinary Optimization. 2021. Pp. 1–19. DOI: 10.1007/s00158-021-02863-w
  73. Utkin L.V., Kozine I. On new cautious structural reliability models in the framework of imprecise probabilities // Structural Safety. 2010. Vol. 32. Issue 6. Pp. 411–416. DOI: 10.1016/j.strusafe.2010.08.004
  74. Wang P., Youn B.D., Xi Z., Kloess A. Bayesian reliability analysis with evolving, insufficient, and subjective data sets // Journal of Mechanical Design. 2009. Vol. 131 (11). DOI: 10.1115/1.4000251
  75. Coolen F.P.A., Newby M.J. Bayesian reliability analysis with imprecise prior probabilities // Reliability Engineering & Systems Safety. 1994. Vol. 431. Pp. 75–85. DOI: 10.1016/0951-8320(94)90096-5
  76. Huang H.Z., Zuo M.J., Sun Z.Q. Bayesian Reliability Analysis for Fuzzy Lifetime Data // Fuzzy Sets and Systems. 2006. Vol. 157. Pp. 1674–1686. DOI: 10.1016/j.fss.2005.11.009
  77. Youn B.D., Wang P.F. Bayesian reliability-based design optimization using eigenvector dimension reduction method // Structural Multidisciplinary Optimization. 2008. Vol. 362. Pp. 107–123. DOI: 10.1007/s00158-007-0202-7
  78. Zhang H., Mullen R.L., Muhanna R.L. Interval Monte Carlo methods for structural reliability // Structural Safety. 2010. Vol. 32. Issue 3. Pp. 183–190. DOI: 10.1016/j.strusafe.2010.01.001
  79. Zhang H., Dai H., Beer M., Wang W. Structural reliability analysis on the basis of small samples: an interval quasi-Monte Carlo method // Mechanical Systems and Signal Processing. 2013. Vol. 37 (1–2). Pp. 137–151. DOI: 10.1016/j.ymssp.2012.03.001
  80. Gao W., Wu D., Song C., Tin-Loi F., Li X. Hybrid probabilistic interval analysis of bar structures with uncertainty using a mixed perturbation Monte-Carlo method // Finite Elements in Analysis and Design. 2011. Vol. 47 (7). Pp. 643–652. DOI: 10.1016/j.finel.2011.01.007
  81. Echard B., Gayton N., Lemaire M. AK-MCS: an active learning reliability method combining Kriging and Monte Carlo simulation // Structural Safety. 2011. Vol. 33. Issue 2. Pp. 145–154. DOI: 10.1016/j.strusafe.2011.01.002
  82. Jahani E., Muhanna R.L., Shayanfar M.A., Barkhordari M.A. Reliability assessment with fuzzy random variables using interval Monte Carlo simulation // Computer‐Aided Civil and Infrastructure Engineering. 2014. Vol. 29 (3). Pp. 208–220. DOI: 10.1111/mice.12028
  83. Ling C., Lu Z., Zhu X. Efficient methods by active learning kriging coupled with variance reduction based sampling methods for time-dependent failure probability // Reliability Engineering & Systems Safety. 2019.Vol. 188. Pp. 23–35. DOI: 10.1016/j.ress.2019.03.004
  84. Angelikopoulos P., Papadimitriou C., Koumoutsakos P. X-TMCMC: Adaptive kriging for Bayesian inverse modeling // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2015. Vol. 289. Pp. 409–428. DOI: 10.1016/j.cma.2015.01.015
  85. Marelli S., Sudret B. An active-learning algorithm that combines sparse polynomial chaos expansions and bootstrap for structural reliability analysis // Structural Safety. 2018. Vol. 75. Pp. 67–74. DOI: 10.1016/j.strusafe.2018.06.003
  86. Faes M., Sadeghi J., Broggi M., De Angelis M., Patelli E., Beer M. et al. On the robust estimation of small failure probabilities for strong nonlinear models // ASCE-ASME journal of risk and uncertainty in engineering systems, part b: mechanical engineering. 2019. Vol. 5 (4).
  87. Faes M., Daub M., Beer M. Engineering analysis with imprecise probabilities: a state-of-the-art review on P-boxes // Proceedings of the 7th Asian-Pacific Symposium on Structural Reliability and its Applications. University of Tokyo, 2020.
  88. Xiao N.C., Zhan H., Yuan K. Adaptive sampling with neural networks for system reliability analysis // 2020 Asia-Pacific International Symposium on Advanced Reliability and Maintenance Modeling (APARM). IEEE, 2020. Pp. 1–5. DOI: 10.1109/APARM49247.2020.9209364
  89. Papadrakakis M., Papadopoulos V., Lagaros N.D. Structural reliability analysis of elastic-plastic structures using neural networks and Monte Carlo simulation // Computer methods in applied mechanics and engineering. 1996. Vol. 136. Issue 1–2. Pp. 145–163.
  90. Chojaczyk A.A., Teixeira A.P., Neves L.C., Cardoso J.B., Soares C.G. Review and application of artificial neural networks models in reliability analysis of steel structures // Structural Safety. 2015. Vol. 52. Pp. 78–89.
  91. Rocchetta R., Broggi M., Patelli E. Do we have enough data? Robust reliability via uncertainty quantification // Applied Mathematical Modelling. 2018. Vol. 54. Pp. 710–721.
  92. Jiang C., Ni B.Y., Han X., Tao Y.R. Non-probabilistic convex model process: a new method of time-variant uncertainty analysis and its application to structural dynamic reliability problems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2014. Vol. 268. Pp. 656–676. DOI: 10.1016/j.cma.2013.10.016
  93. Rozsas Á., Mogyorosi Z. The effect of copulas on time-variant reliability involving time-continuous stochastic processes // Structural Safety. 2017. Vol. 66. Pp. 94–105. DOI: 10.1016/j.strusafe.2017.02.004
  94. Yao T.H.J., Wen Y.K. Response surface method for time-variant reliability analysis // Journal of Structural Engineering. 1996. Vol. 122. Issue 2. Pp. 193–201. DOI: 10.1061/(ASCE)0733-9445(1996)122:2(193)
  95. Yu S., Wang Z. A novel time-variant reliability analysis method based on failure processes decomposition for dynamic uncertain structures // Journal of Mechanical Design. 2018. Vol. 140. Issue 5. P. 051401. DOI: 10.1115/1.4039387
  96. Bagheri M., Miri M., Shabakhty N. Modeling of epistemic uncertainty in reliability analysis of structures using a robust genetic algorithm // Iranian Journal of Fuzzy Systems. 2015. Vol. 12. Issue 2. Pp. 23–40. DOI: 10.22111/IJFS.2015.1980
  97. Sreekanth J., Datta B. Coupled simulation‐optimization model for coastal aquifer management using genetic programming‐based ensemble surrogate models and multiple‐realization optimization // Water Resources Research. 2011. Vol. 47. Issue 4. DOI: 10.1029/2010WR009683
  98. Jalalpour M., Tootkaboni M. An efficient approach to reliability-based topology optimization for continua under material uncertainty // Structural and Multidisciplinary Optimization. 2016. Vol. 53. Issue 4. Pp. 759–772. DOI: 10.1007/s00158-015-1360-7
  99. Wang L., Liu D., Yang Y., Wang X., Qiu Z. A novel method of non-probabilistic reliability-based topology optimization corresponding to continuum structures with unknown but bounded uncertainties // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2017. Vol. 326. Pp. 573–595. DOI: 10.1016/j.cma.2017.08.023
  100. Khalaj M., Khalaj F., Khalaj A. A novel risk-based analysis for the production system under epistemic uncertainty // Journal of Industrial Engineering International. 2013. Vol. 9. Issue 1. Pp. 1–10. DOI: 10.1186/2251-712X-9-35
СКАЧАТЬ (RUS)